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Text File  |  1989-03-07  |  4KB  |  79 lines
  1.                                     TROUBLE
  2.                                         
  3. This slide show consists of various graphs of the same function, seen over
  4. different domains.
  5.  
  6. Frequently people are under the impression that if "enough points" of a function
  7. are plotted, and then joined, the resultant graph accurately portrays the
  8. original function.  This is the principle used by all computer graphing
  9. packages.  People are even questioning the wisdom of teaching curve sketching in
  10. calculus, because of such packages.  The following slide show is designed to
  11. display some of the pitfalls of graphing by plotting points, and then joining
  12. them.  In fact calculus is essential in deciding the accuracy of any graph.
  13.  
  14. The function used exclusively throughout this slide show is
  15.  
  16.                                                  1.2
  17.                         f(x) = sin[4000 π (x + 1)   ] ,
  18.  
  19. which was created for this purpose by Richard Thompson.  Notice that f(x) is
  20. continuous everywhere, and that as x goes to 0, f(x) goes to 0.  Also notice
  21. that f(x) is neither even nor odd.
  22.  
  23. In all the following slides exactly the same process is followed:
  24. 1) An interval, containing the origin, is selected and divided into equally
  25. spaced x values.
  26. 2) f(x) is calculated at each of these x values.
  27. 3) These points are plotted and joined.
  28.  
  29. A.   [-.1, .1] with about 160 sample points.
  30.      The first slide displays f(x) in the interval [-.1, .1] using 158 sample
  31. points.
  32.      From now on the number of sample points is increased by 1 until the total
  33. points sampled is 162. Surprise.
  34.      None of these graphs accurately portray f(x).  In fact, using an elementary
  35. argument involving calculus, it is easy to show that f(x) has 485 relative
  36. extrema between 0 and .1 .  No wonder that plotting only 160 points may be
  37. inaccurate!
  38.  
  39. B.   [-.1, .1002] to [-.1, .0998] in steps of -.00005
  40.      The first slide displays f(x) in the interval -.1 < x < .1002.  The
  41. vertical line is the y-axis.  Notice where the function crosses the y-axis.
  42.      From now on the left hand end point is left untouched, and the right hand
  43. end point is reduced by .00005, so the new interval is -.1 < x < .10015.
  44. Surprise.  This process is repeated until the final domain is -.1 < x < .0998.
  45.      None of these graphs accurately portray f(x).
  46.  
  47.  C.  [-.0845, .0845] to [-.082, .082] in steps of -.0005
  48.      The first slide displays f(x) in the interval -.0845 < x < .0845.  This is
  49. a smaller domain than the (A) set of slides.
  50.      Now the left and right hand end points are reduced simultaneously by .0005,
  51. so the new interval is -.0840 < x < .0840.  Surprise.  This process is repeated,
  52. until the final domain is -.082 < x < .082.
  53.      None of these graphs accurately portray f(x).
  54.  
  55. D.   [-.0006, .0006] to [-.003, .003] in steps of .0012
  56.      The first slide displays f(x) in the interval -.0006 < x < .0006.  This is
  57. a much smaller domain than either the (A) or (B) sets of slides.  What you are
  58. looking at is an accurate graph of f(x).  How do we know?  Because, using
  59. calculus, we can show that the first two maxima which are to the right of the y-
  60. axis occur at x = .000104 and x  = .000521, and the first minima is at .000312.
  61. This is clearly the case in this graph.
  62.      Now the left and right hand end points are increased by .0012, so the new
  63. interval is -.0018 < x < .0018, and the region containing the three relative
  64. extrema mentioned above is indicated by a box. Finally, this process is
  65. repeated, and the final domain is -.003 < x < .003. These graphs portray f(x)
  66. accurately.  It is easily shown that, between 0 and .003, f(x) has 14 relative
  67. extrema in agreement with the last slide.
  68.  
  69. When viewing the slides, the following keys are operational:
  70.  
  71. HOME      takes you to the first slide in the sequence you selected
  72. END       takes you to the last slide in the sequence you selected
  73. UP ARROW  takes you to the previous slide in the sequence you selected
  74. F9        immediately quits the program
  75.  
  76. These keys do NOT operate like that while you are reading this document.
  77.  
  78. When you have finished reading this document, press Q to quit.
  79.